Himpunan dan Relasi
himpunan
Biasanya, nama
himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A,
atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf
kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang
umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus
ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan
format penulisan himpunan yang umum dipakai.
-
NotasiContohHimpunanHuruf besarSElemen himpunanHuruf kecil (jika merupakan huruf)aKelasHuruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan
bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat,
dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
-
BilanganAsliBulatRasionalRiilKompleksNotasi
Simbol-simbol khusus
yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
-
SimbolArti{} atauHimpunan kosongOperasi gabungan dua himpunanOperasi irisan dua himpunan, , ,Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejatiACKomplemenHimpunan kuasa
Himpunan dapat
didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
- Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
- Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.
Notasi pembangun
himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks,
contohnya adalah himpunan berikut:
Himpunan A tidak
mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang
bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu
bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
Himpunan kosong
Himpunan {apel,
jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel,
jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain,
semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita
boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa
pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.
Himpunan kosong
tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
Relasi antar himpunan
Subhimpunan
Dari suatu himpunan,
misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat
dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil
dari himpunan tersebut.
- {apel, jeruk}
- {jeruk, pisang}
- {apel, mangga, pisang}
Ketiga himpunan di
atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah
juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai
subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Jadi
dapat dirumuskan:
B adalah himpunan
bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.
Kalimat di atas
tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan
dari A.
Untuk sembarang
himpunan A,
Definisi di atas
juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah
A sendiri.
Untuk sembarang
himpunan A,
Istilah subhimpunan
dari A biasanya berarti mencakup A sebagai
subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk
menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A
sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari
konteksnya.
Subhimpunan
sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A,
tetapi tidak mencakup A sendiri.
Superhimpunan
Kebalikan dari
subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang
lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
Kesamaan dua himpunan
Himpunan A
dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah
anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah
anggota A.
atau
Definisi di atas
sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B
adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B,
kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.
Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa
atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah
himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A.
Notasinya adalah .
Jika A =
{apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :
{
{ },
{apel},
{jeruk}, {mangga}, {pisang},
{apel,
jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
{jeruk,
mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
{apel,
jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga,
pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
{apel,
jeruk, mangga, pisang} }
Banyaknya anggota
yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat
banyaknya anggota A.
Kelas
Suatu himpunan
disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika
himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah
sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan
A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.
Contoh berikut,
bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c yang bukan
himpunan.
Kardinalitas
Kardinalitas dari
sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang
dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan
{apel,jeruk,mangga,pisang}
adalah 4. Himpunan {p,q,r,s}
juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut
ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang
sama.
Dua buah himpunan A
dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi
korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena
dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan satu-satu dan kepada
himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki
kardinalitas yang sama.
Himpunan Denumerabel
Jika sebuah himpunan
ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka
himpunan tersebut disebut denumerabel.
Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .
Himpunan semua
bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena
memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan
himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .
Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan
memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan
tersebut adalah himpunan berhingga.
Himpunan Tercacah
Himpunan disebut
tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.
Himpunan Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak
tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini
adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis
ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil
tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian
diagonal.
Himpunan bilangan
riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena
terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan
himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .
Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik
menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atau
tidak.
Jika maka:
χA(apel)
= 1
χA(durian)
= 0
χA(utara)
= 0
χA(pisang)
= 1
χA(singa)
= 0
Terdapat
korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari
semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita
dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang
menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam himpunan tersebut.
Representasi Biner
Jika konteks
pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap
himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0
dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan
biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap
digitnya.
Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S,
sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0
menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain,
masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan
tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e,
f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f},
maka:
Himpunan
Representasi Biner
----------------------------
-------------------
a
b c d e f g
S
= { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A
= { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0
B
= { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0
Cara menyatakan
himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan
operasi-operasi himpunan, seperti union,
interseksi,
dan komplemen,
karena kita tinggal menggunakan operasi
bit untuk melakukannya.
- Operasi gabungan setara dengan A or B
- Operasi irisan setara dengan A and B
- Operasi komplemen AC setara dengan not A
Relasi
Definisi
Jika terdapat
himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan
B), maka relasi R dari A ke B adalah
subhimpunan
dari A×B.
[ ] Relasi dan fungsi proposisi
Sebuah relasi dapat
dikaitkan dengan sebuah fungsi
proposisi atau kalimat
terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak
lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh,
pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang }
dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu
relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R
= {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau),
(pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y)
= "x berwarna y", yang himpunan
penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange),
(mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain
adalah relasi R.
[ ] Relasi A×A
Sebuah relasi A×A,
yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat
memiliki sifat-sifat berikut:
- Refleksif
- Irefleksif
- Simetrik
- Anti-simetrik
- Transitif
Kita menyebut relasi
R dari A kepada A sebagai relasi R dalam
A.
[ ] Relasi Refleksif
Sebuah relasi R
dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A
berhubungan dengan dirinya sendiri.
atau
Contoh relasi yang
memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama
y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan
seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama
dengan dirinya sendiri.
[ ] Relasi Irefleksif
Relasi R
dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen
A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
atau
Contoh relasi
irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y
dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap
pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur
rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah
irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu
mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam
himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah
irefleksif.
[ ] Relasi Simetrik
Relasi R
dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan
anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a
terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a.
Jadi terdapat hubungan timbal balik.
atau
Sebuah relasi “x
+ y
genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan
y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan
menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap
dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi,
dan untuk (3, 5) juga.
[ ] Relasi Anti-simetrik
Jika setiap a
dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja
(dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam
ini disebut relasi anti-simetrik.
atau
Dalam kebanyakan
literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah
ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya
mengandung satu implikasi.
atau
Relasi bersifat
anti-simetrik, karena mengakibatkan . Demikian juga jika ada p
dan q yang terhadap mereka berlaku dan berarti p
= q.
[ ] Relasi Transitif
Sebuah relasi
disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan
dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a
berhubungan dengan c secara langsung.
atau
Sebagai contoh,
relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6
< 7, dan 5 < 7.
[ ] Relasi khusus
[ ] Relasi Ekivalen
Sebuah relasi
disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:
- Refleksif
- Simetrik, dan
- Transitif
Relasi ekuivalen
memiliki hubungan erat dengan partisi,
yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut
kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.
[ ] Orde Parsial
Orde parsial adalah
relasi yang bersifat:
- Refleksif
- Anti-simetrik, dan
- Transitif
Relasi
dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-angggota
himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Relasi
dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :
l.
Diagaram panah
2.Himpunan
pasangan berurutan
3.Diagram
Cartesius
Contoh :
Via: aku
senang permen dan coklat
Andre:
aku senang coklat dan es krim
Ita: aku
suka es krim
Dari
contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :
-Himpunan
A adalah himpunan nama orang
A = {
Via, Andre, Ita }
-Himpunan
B adalah himpunan makanan kesukaan
B = {
es krim, coklat, permen }
Relasi
dari himpunan A ke himpunan B adalah "makanan kesukaan" dan
dapat dinyatakan dengan :
a.Diagram
panah
b.Himpunan
pasangan berurutan
{
(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) ,
(Ita,es krim)}
c. Diagram
Cartesius
Latihan 1
1.Ria,
Budi, dan Edy gemar bermain bulu tangkis. Eko dan Andi gemar bermain
bola basket.
Ali
gemar bermain bulu tangkis dan bola basket.
a. Jika
A adalah himpunan nama anak dan B adalah himpunan permainan, maka :
Tunjukkanlah
relasi di atas dengan diagram panah!
b.
Nyatakanlah relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan
2.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Tuliskanlah
relasi/hubungan dari himpunan P ke himpunan Q!
- Relasi pada diagram cartesius di samping dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, yaitu …
Diagram panah dari relasi tersebut
adalah …
4.{ (3,4), (3,5), (4,4), (5,6), (6,5),
(6,6) } adalah himpunan pasangan berurutan dari suatu relasi.
a. Anggota
himpunan pertama adalah …
b. Anggota
himpunan kedua adalah …
5.Perhatikan
gambar di. bawah ini. Sebutkan nama relasi dari himpunan A ke
himpunan B
- Perkalian Cartesius (x)
Notasi : A x B = {(a,b) | a A, b B}
= himpunan dari
semua pasangan terurut (a,b) yang memenuhi syarat a
A dan b
B.
- Fungsi Proposisi
Definisinya pada
perkalian himpunan A dan B adalah P(x,y) yang mengandung sifat :
untuk P(a,b)
dimana a dan b disisipkan untuk variabel x dan y pada P(x,y) bernilai
benar saja atau salah saja untuk sebarang pasangan (a,b)
A x B
contoh :
- P(x,y) = “ x bermain di y” adalah fungsi proposisi pada A x B dengan A adalah himpunan pemain sepakbola dan B adalah klub sepakbola
Proposisi
yang dapat dibuat :
-. Andrey
Shevchenko bermain di AC Milan (benar)
-.
David Beckham bermain di MU (benar)
-.
Luis Figo bermain di PSS (salah)
- Relasi
Relasi
adalah proposisi yang bernilai benar
Notasi R
= (A, B, P(x,y))
A
1
2
3
4
B
1
2
3
4
Relasi
refleksif
R= (A, A, P(x,y));
jhj setiap anggota himpunan A berelasi dengan dirinya sendiri
R
={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Relasi
Nonrefleksif
R= (A, A, P(x,y));
jhj ada anggota himpunan A yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri
R
={(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}
Relasi
Irrefleksif
R = (A, A, P(x,y));
jhj setiap anggota himpunan A tidak berelasi dengan dirinya sendiri
R
= {(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}
Relasi
Simetris
R = (A, A, P(x,y));
jhj untuk setiap 2 anggota himpunan A (a,b
A), jika a berelasi dengan b, maka b juga berelasi dengan a
R
= {(1,2),(2,3),(3,2),(2,1)}
Relasi
Nonsimetris
R = (A, A, P(x,y));
jhj ada 2 anggota himpunan A yang jika a berelasi dengan b tetapi b
tidak berelasi dengan a
R = {(1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
Relasi
Asimetris
R = (A, A, P(x,y));
jhj ada 2 anggota himpunan A yang jika a berelasi dengan b maka b
tidak berelasi dengan a
R
= {(1,2),(1,4),(2,3),(4,3)}
Relasi
Antisimetris
R = (A, A, P(x,y));
jhj untuk 2 anggota himpunan A jika (a,b)
A dan (b,a)
B, maka a=b.
NB:
jika a
b maka mungkin a berhubungan dengan b atau d berhubungan dengan a
tetapi tidak kedua-duanya.
R
= { (1,2),(1,4),(2,3),(2,4)}
Relasi
Transitif
R = (A, A, P(x,y));
jhj untuk setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c
A) jika a berelasi dengan b, berelasi dengan c maka a juga berelasi
dengan c
R
= {(1,2),(2,3),(1,3)}
Relasi
Nontransitif
R = (A, A, P(x,y));
jhj untuk ada 3 anggota himpunan A, (a,b,c
A) jika a berelasi dengan b, berelasi dengan c maka a tidak berelasi
dengan c
R = {(1,2),(2,3),(3,4)}
Relasi
Intransitif
R = (A, A, P(x,y));
jhj untuk setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c
A) jika a berelasi dengan b, berelasi dengan c maka a tidak berelasi
dengan c
Misal E = {1,2,3}
R
= {(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(5,7)}
Relasi
di atas bukan intransitif karena :
-.(1,2)
R dan (2,3)
R, tetapi (1,3)
R
-.(1,2)
R dan (2,5)
R, tetapi (1,5)
R
-.(2,3)
R dan (3,4)
R, tetapi (2,4)
R
-.(2,5)
R dan (5,7)
R, tetapi (2,7)
R
Relasi
yang intransitif dari himpunan A
R
= {(1,2),(2,3),(1,4)}
Relasi
Ekivalen
R
= (A, A, P(x,y)); jhj
- R adalah relasi refleksif, (untuk setiap 1 A, (a,a) R)
- R adalah relasi simetris, jika (a,b) R, maka (b,a) R)
- R adalah relasi transitif, jika (a,b) R, dan (b,c) R maka (a,c) R)
Relasi
Relasi
dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-angggota
himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Relasi
dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :
l.
Diagaram panah
2.Himpunan
pasangan berurutan
3.Diagram
Cartesius
Contoh :
Via: aku
senang permen dan coklat
Andre:
aku senang coklat dan es krim
Ita: aku
suka es krim
Dari
contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :
-Himpunan
A adalah himpunan nama orang
A = {
Via, Andre, Ita }
-Himpunan
B adalah himpunan makanan kesukaan
B = {
es krim, coklat, permen }
Relasi
dari himpunan A ke himpunan B adalah "makanan kesukaan" dan
dapat dinyatakan dengan :
a.Diagram
panah
b.Himpunan
pasangan berurutan
{
(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) ,
(Ita,es krim)}
c. Diagram
Cartesius
Latihan 1
1.Ria,
Budi, dan Edy gemar bermain bulu tangkis. Eko dan Andi gemar bermain
bola basket.
Ali
gemar bermain bulu tangkis dan bola basket.
a. Jika
A adalah himpunan nama anak dan B adalah himpunan permainan, maka :
Tunjukkanlah
relasi di atas dengan diagram panah!
b.
Nyatakanlah relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan
2.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Tuliskanlah
relasi/hubungan dari himpunan P ke himpunan Q!
- Relasi pada diagram cartesius di samping dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, yaitu …
Diagram panah dari relasi tersebut
adalah …
4.{ (3,4), (3,5), (4,4), (5,6), (6,5),
(6,6) } adalah himpunan pasangan berurutan dari suatu relasi.
a. Anggota
himpunan pertama adalah …
b. Anggota
himpunan kedua adalah …
5.Perhatikan
gambar di. bawah ini. Sebutkan nama relasi dari himpunan A ke
himpunan B
Saking
perhatiannya, BimaTri juga memberikan menu-menu lain yang sangat
berguna, seperti Package yang memungkinkan pengguna untuk
langsung membeli paket atau isi ulang pulsa sesuai kebutuhan. Adapun isi
ulang tersebut bisa dilakukan baik dengan cara konvensional seperti
voucher fisik ataupun metode pembayaran debit dan kredit.
