Himpunan dan Relasi

Himpunan dan Relasi

himpunan

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar	S
Elemen himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)	a
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
{} atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

• Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

• Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Subhimpunan

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.

• {apel, jeruk}
• {jeruk, pisang}
• {apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

{ { },

{apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},

{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},

{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},

{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},

{apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

Kelas

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan {apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

Jika maka:

χ_A(apel) = 1

χ_A(durian) = 0

χ_A(utara) = 0

χ_A(pisang) = 1

χ_A(singa) = 0

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

Himpunan Representasi Biner

---------------------------- -------------------

a b c d e f g

S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1

A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0

B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0

Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya.

• Operasi gabungan setara dengan A or B
• Operasi irisan setara dengan A and B
• Operasi komplemen A^C setara dengan not A

Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.

Relasi

Definisi

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.

[ ] Relasi dan fungsi proposisi

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.

Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

[ ] Relasi A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

• Refleksif
• Irefleksif
• Simetrik
• Anti-simetrik
• Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

[ ] Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri.

atau

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

[ ] Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

atau

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

[ ] Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

atau

Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

[ ] Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

atau

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

atau

Relasi bersifat anti-simetrik, karena mengakibatkan . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku dan berarti p = q.

[ ] Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

atau

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

[ ] Relasi khusus

[ ] Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

• Refleksif
• Simetrik, dan
• Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

[ ] Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

• Refleksif
• Anti-simetrik, dan
• Transitif

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-angggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :

l. Diagaram panah

2.Himpunan pasangan berurutan

3.Diagram Cartesius

Contoh :

Via: aku senang permen dan coklat

Andre: aku senang coklat dan es krim

Ita: aku suka es krim

Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :

-Himpunan A adalah himpunan nama orang

A = { Via, Andre, Ita }

-Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan

B = { es krim, coklat, permen }

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah "makanan kesukaan" dan dapat dinyatakan dengan :

a.Diagram panah

b.Himpunan pasangan berurutan

{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

c. Diagram Cartesius

Latihan 1

1.Ria, Budi, dan Edy gemar bermain bulu tangkis. Eko dan Andi gemar bermain bola basket.

Ali gemar bermain bulu tangkis dan bola basket.

a. Jika A adalah himpunan nama anak dan B adalah himpunan permainan, maka :

Tunjukkanlah relasi di atas dengan diagram panah!

b. Nyatakanlah relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan

2. Perhatikan gambar di bawah ini!

Tuliskanlah relasi/hubungan dari himpunan P ke himpunan Q!

3. Relasi pada diagram cartesius di samping dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, yaitu …

Diagram panah dari relasi tersebut adalah …

4.{ (3,4), (3,5), (4,4), (5,6), (6,5), (6,6) } adalah himpunan pasangan berurutan dari suatu relasi.

a. Anggota himpunan pertama adalah …

b. Anggota himpunan kedua adalah …

5.Perhatikan gambar di. bawah ini. Sebutkan nama relasi dari himpunan A ke himpunan B

1. Perkalian Cartesius (x)

Notasi : A x B = {(a,b) | a  A, b  B}

= himpunan dari semua pasangan terurut (a,b) yang memenuhi syarat a  A dan b  B.

2. Fungsi Proposisi

Definisinya pada perkalian himpunan A dan B adalah P(x,y) yang mengandung sifat :

 untuk P(a,b) dimana a dan b disisipkan untuk variabel x dan y pada P(x,y) bernilai benar saja atau salah saja untuk sebarang pasangan (a,b)  A x B

contoh :

1. P(x,y) = “ x bermain di y” adalah fungsi proposisi pada A x B dengan A adalah himpunan pemain sepakbola dan B adalah klub sepakbola

Proposisi yang dapat dibuat :

-. Andrey Shevchenko bermain di AC Milan (benar)

-. David Beckham bermain di MU (benar)

-. Luis Figo bermain di PSS (salah)

3. Relasi

Relasi adalah proposisi yang bernilai benar

Notasi R = (A, B, P(x,y))

A

1

2

3

4

B

1

2

3

4

 Relasi refleksif

R= (A, A, P(x,y)); jhj setiap anggota himpunan A berelasi dengan dirinya sendiri

R ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

 Relasi Nonrefleksif

R= (A, A, P(x,y)); jhj ada anggota himpunan A yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri

R ={(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}

Relasi Irrefleksif

R = (A, A, P(x,y)); jhj setiap anggota himpunan A tidak berelasi dengan dirinya sendiri

R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}

Relasi Simetris

R = (A, A, P(x,y)); jhj untuk setiap 2 anggota himpunan A (a,b  A), jika a berelasi dengan b, maka b juga berelasi dengan a

R = {(1,2),(2,3),(3,2),(2,1)}

Relasi Nonsimetris

R = (A, A, P(x,y)); jhj ada 2 anggota himpunan A yang jika a berelasi dengan b tetapi b tidak berelasi dengan a

R = {(1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}

Relasi Asimetris

R = (A, A, P(x,y)); jhj ada 2 anggota himpunan A yang jika a berelasi dengan b maka b tidak berelasi dengan a

R = {(1,2),(1,4),(2,3),(4,3)}

Relasi Antisimetris

R = (A, A, P(x,y)); jhj untuk 2 anggota himpunan A jika (a,b)  A dan (b,a)  B, maka a=b.

NB: jika a  b maka mungkin a berhubungan dengan b atau d berhubungan dengan a tetapi tidak kedua-duanya.

R = { (1,2),(1,4),(2,3),(2,4)}

 Relasi Transitif

R = (A, A, P(x,y)); jhj untuk setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c  A) jika a berelasi dengan b, berelasi dengan c maka a juga berelasi dengan c

R = {(1,2),(2,3),(1,3)}

Relasi Nontransitif

R = (A, A, P(x,y)); jhj untuk ada 3 anggota himpunan A, (a,b,c  A) jika a berelasi dengan b, berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c

R = {(1,2),(2,3),(3,4)}

 Relasi Intransitif

R = (A, A, P(x,y)); jhj untuk setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c  A) jika a berelasi dengan b, berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c

Misal E = {1,2,3}

R = {(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(5,7)}

Relasi di atas bukan intransitif karena :

-.(1,2)  R dan (2,3)  R, tetapi (1,3)  R

-.(1,2)  R dan (2,5)  R, tetapi (1,5)  R

-.(2,3)  R dan (3,4)  R, tetapi (2,4)  R

-.(2,5)  R dan (5,7)  R, tetapi (2,7)  R

Relasi yang intransitif dari himpunan A

R = {(1,2),(2,3),(1,4)}

 Relasi Ekivalen

R = (A, A, P(x,y)); jhj

1. R adalah relasi refleksif, (untuk setiap 1  A, (a,a)  R)
2. R adalah relasi simetris, jika (a,b)  R, maka (b,a)  R)
3. R adalah relasi transitif, jika (a,b)  R, dan (b,c)  R maka (a,c)  R)

Relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-angggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :

l. Diagaram panah

2.Himpunan pasangan berurutan

3.Diagram Cartesius

Contoh :

Via: aku senang permen dan coklat

Andre: aku senang coklat dan es krim

Ita: aku suka es krim

Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :

-Himpunan A adalah himpunan nama orang

A = { Via, Andre, Ita }

-Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan

B = { es krim, coklat, permen }

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah "makanan kesukaan" dan dapat dinyatakan dengan :

a.Diagram panah

b.Himpunan pasangan berurutan

{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

c. Diagram Cartesius

Latihan 1

1.Ria, Budi, dan Edy gemar bermain bulu tangkis. Eko dan Andi gemar bermain bola basket.

Ali gemar bermain bulu tangkis dan bola basket.

a. Jika A adalah himpunan nama anak dan B adalah himpunan permainan, maka :

Tunjukkanlah relasi di atas dengan diagram panah!

b. Nyatakanlah relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan

2. Perhatikan gambar di bawah ini!

Tuliskanlah relasi/hubungan dari himpunan P ke himpunan Q!

3. Relasi pada diagram cartesius di samping dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, yaitu …

Diagram panah dari relasi tersebut adalah …

4.{ (3,4), (3,5), (4,4), (5,6), (6,5), (6,6) } adalah himpunan pasangan berurutan dari suatu relasi.

a. Anggota himpunan pertama adalah …

b. Anggota himpunan kedua adalah …

5.Perhatikan gambar di. bawah ini. Sebutkan nama relasi dari himpunan A ke himpunan B